《数学》本就是我们原本掌握却又遗忘的知识
一、知识纲要
1.向量的相关概念
（1）向量：
既有大小又又方向的量叫做向量，记为
A
B
→
\overrightarrow{AB}
AB
或者
a
→
\overrightarrow{a}
a
。向量又称矢量。
注意 ：①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向：标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常由有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移：有向线段有固定的起点和终点不能随缘移动。
（2）向量的模：
向量的大小又叫做向量的模，它指的是向量的有向线段的长度。 记作：
∣
A
B
→
∣
\lvert\overrightarrow{AB}\rvert
∣AB
∣ 或
∣
a
→
∣
\lvert\overrightarrow{a}\rvert
∣a
∣。
注意：向量本身不能比较大小，但向量的模可以
（3）零向量：
长度为0的向量叫做零向量,记作
0
→
\overrightarrow{0}
0
,零向量的方向是任意的。
注意：①
∣
a
→
∣
\lvert\overrightarrow{a}\rvert
∣a
∣ =0; ②
0
→
与
0
的
区
别
：
写
法
的
区
别
，
意
义
的
区
别
。
\overrightarrow{0}与0的区别：写法的区别，意义的区别。
0
与0的区别：写法的区别，意义的区别。
（4）单位向量：
模长为1个单位长度的非零向量叫做单位向量。
注意：若向量
∣
a
→
∣
\lvert\overrightarrow{a}\rvert
∣a
∣_=1。
2、向量的表示：
（1）几何表示法：
用带箭头的有向线段表示，如
A
B
→
\overrightarrow{AB}
AB
,注意：方向是起点指向终点。
（2）符号表示法：
用一个小写的英文字母表示，如
a
→
\overrightarrow{a}
a
,
b
→
\overrightarrow{b}
b
等；
（3）坐标表示法：
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量
i
→
\overrightarrow{i}
i
、
j
→
\overrightarrow{j}
j
为基低向量，则平面内的任一向量
a
→
\overrightarrow{a}
a
可以表示为
a
→
\overrightarrow{a}
a
=
x
i
→
\overrightarrow{xi}
xi
+
y
j
→
\overrightarrow{yj}
yj
=(x,y),称（x,y）为向量
a
→
\overrightarrow{a}
a
的坐标，
a
→
\overrightarrow{a}
a
=(x,y)叫做向量
a
→
\overrightarrow{a}
a
的坐标表示，此时
∣
a
→
∣
\lvert\overrightarrow{a}\rvert
∣a
∣ =
x
2
+
y
2
\sqrt{x^2+y^2}
x2+y2
。
若已知
A
(
x
1
,
y
1
)
A(x_1,y_1)
A(x1,y1) 和
B
(
x
2
,
y
2
)
B(x_2,y_2)
B(x2,y2),则
A
B
→
\overrightarrow{AB}
AB
=
(
x
2
−
x
1
,
y
2
−
y
1
)
(x_2-x1,y_2-y_1)
(x2−x1,y2−y1)，即终点坐标减去起点坐标。
特别的，如果向量的起点是在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。
3、向量之间的关系：
（1）平行（共线）：
对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那就就称这两种关系为平行，记作
a
→
/
/
b
→
\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}
a
//b
，换言之，方向相同或者方向相反的两个向量叫做平行向量（共线向量）。
相互平行的两个向量之间的夹角为0°或者180°，记作
<
a
→
,
b
→
>
<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>
,b > =0°或180°。 由于向量可以进行任意平移（所以向量又叫自由向量），所以平行向量总可以平移到同一条直线上，故平行向量也可以称为共线向量。 _注意：① 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的共线含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 ②规定 0 → \overrightarrow{0} 0 平行于任何的量，故在有关向量平行（共线）问题中务必清楚是否有“非零向量”这个条件。③平行向量无法传达性（因为有 0 → \overrightarrow{0} 0 ）。_ （2）不平行： 对于两个非零的向量 a → \overrightarrow{a} a 和 b → , 如 果 平 移 后 他 们 的 夹 角 不 是 180 ° 或 者 0 ° \overrightarrow{b} ,如果平移后他们的夹角不是180°或者0° b ,如果平移后他们的夹角不是180°或者0°，则称这两个向量不平行。 此时，他们的夹角范围是 < a → , b → > ∈ ( 0 , π ) <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\in(0,π) ,b >∈(0,π)。 特别的，当 < a → , b → > = π 2 （ 即 90 ° ） <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac \pi 2（即90°） ,b >=2π（即90°），称为两个向量垂直，记为 a → ⊥ b → \overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b} a ⊥b 。 4、由向量之间的关系引用出的术语： （1）同向向量： 如果两个向量的方向相同（即：共线并夹角为0°），那么就称这两个向量是同向向量。 < a → , b → > = 0 <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=0 ,b >=0。 （2）反向向量： 如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180°），那就称这两个向量为相反向量。 < a → , b → > = π <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\pi ,b >=π。 注意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。 （3）相等向量： 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,记为 a → = b → \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b} a =b 。 注意： ① 相等相等向量经过平移后总可以重合的，是同向量的升级版。 ② 相等向量的坐标体现为： ( x 1 , y 1 ) = ( x 2 , y 2 ) ⇔ (x_1,y_1)=(x_2,y_2)\Harr (x1,y1)=(x2,y2)⇔ { x 1 = x 2 y 1 = y 2 \begin{cases}x_1=x_2 \\y_1=y_2\end{cases} {x1=x2y1=y2 。 ③若 a → = b → , \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}, a =b ,且 b → = c → \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} b =c 。即向量相关具有传递性。 （4）相反向量： 长度相等切方向相反的两个向量为相反向量, a → \overrightarrow{a} a 的相反向量标记为 − a → -\overrightarrow{a} −a , A B → \overrightarrow{AB} AB 的相反向量记为： − A B → 或 者 B A → -\overrightarrow{AB} 或者\overrightarrow{BA} −AB 或者BA , 零向量的相反向量仍是零向量。 注意： ① 相反向量反向向量的升级版，要求方向相等且大小相等，即 ∣ a → ∣ = ∣ b → ∣ \lvert\overrightarrow{a}\rvert=\lvert\overrightarrow{b}\rvert ∣a ∣=∣b ∣。 ② 若 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b 为相反向量， a → + b → = 0 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=0 a +b =0。 ③ 相反向量的坐标体现为： ( x 1 , y 1 ) = − ( x 2 , y 2 ) ⇔ (x_1,y_1)=-(x_2,y_2)\Harr (x1,y1)=−(x2,y2)⇔ { x 1 = − x 2 y 1 = − y 2 。 \begin{cases}x_1=-x_2\\y_1=-y_2\end{cases}。 {x1=−x2y1=−y2。 ④ 双重取反必还原： − ( − a → ) = a → -(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a} −(−a )=a 。 5、向量的线性运算： （1）向量加法： 求两个向量和的运算叫做向量的加法。 注意：加法性质： ① 0 → + a → = a → + 0 → = a → \overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} 0 +a =a +0 =a ，任何向量与零向量相加都等于任何向量。 ② a → + ( − a → ) = ( − a → ) + a → = 0 \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=0 a +(−a )=(−a )+a =0,一对相反的向量的和一定等于零向量。 ③向量加法满足交换定律： a → + b → = b → + a → \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a} a +b =b +a 。 ④向量加法满足结合定律： ( a → + b → ) + c → = a → + ( b → + c → ) (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) (a +b )+c =a +(b +c )。 （2）向量减法： 求两个向量的差的运算叫做向量的加法。 记作： a → − b → = a → + ( − b → ) \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b}) a −b =a +(−b ) , 即求两个向量 a → 与 b → \overrightarrow{a}与\overrightarrow{b} a 与b 的差，等于向量 a → 加 上 b → \overrightarrow{a}加上\overrightarrow{b} a 加上b 的相反向量。 注意： ① a → + （ − a → ） = ( − a → ) + a → = 0 → \overrightarrow{a}+（-\overrightarrow{a}）=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} a +（−a ）=(−a )+a =0 ； ②若 a → 、 b → \overrightarrow{a}、\overrightarrow{b} a 、b 是互为相反向量，则 a → = − b → , b → = − a → , a → + b → = 0 → \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} a =−b ,b =−a ,a +b =0 。 小结：加减法的运算法则 “三角形法则” “平行四边形法则” 说明：向量加法有 “三角形法则” 与 “平行四边形法则” ①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线。方向是从减向量指向被减向量。 ②三角形法则的特性是“首尾相连”，由第一个向量起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则：当两个向量是首尾相连的时，用三角形法则，向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： A B → + B C → + C D → + . . . + P Q → + Q R → = A R → \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+...+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{AR} AB +BC +CD +...+PQ +QR =AR ，但这时必须"首尾相连"。 （3）向量的数乘运算： 实数 λ \lambda λ与向量 a → \overrightarrow{a} a 的积是一个向量，所得的结果表示：在 a → \overrightarrow{a} a 的方向（或 a → \overrightarrow{a} a 的相反方向）取 λ \lambda λ倍 构成一个新的向量 λ a → \lambda\overrightarrow{a} λa 。 λ a → \lambda\overrightarrow{a} λa 的长度与方向规定如下： ① ∣ λ a → ∣ = ∣ λ ∣ ⋅ ∣ a → ∣ \lvert\lambda\overrightarrow{a}\rvert=\lvert\lambda\rvert·\lvert\overrightarrow{a}\rvert ∣λa ∣=∣λ∣⋅∣a ∣； ②当 λ > 0 \lambda>0 λ>0时， λ a → \lambda\overrightarrow{a} λa 的方向与 a → \overrightarrow{a} a 的方向相同；当 λ < 0 \lambda<0 λ<0时， λ a → \lambda\overrightarrow{a} λa 的方向与 a → \overrightarrow{a} a 的方向相反；当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时， λ a → = 0 → \lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} λa =0 ，方向是任意的。 ③数乘向量满足交换律、结合律与分配律： λ ⋅ μ ⋅ a → = μ ⋅ λ ⋅ a → = a → ⋅ μ ⋅ λ ； \lambda·\mu·\overrightarrow{a}=\mu·\lambda·\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}·\mu·\lambda； λ⋅μ⋅a =μ⋅λ⋅a =a ⋅μ⋅λ； ( λ + μ ) ⋅ a → = λ ⋅ a → + μ ⋅ a → ； (\lambda+\mu)·\overrightarrow{a}=\lambda·\overrightarrow{a}+\mu·\overrightarrow{a}； (λ+μ)⋅a =λ⋅a +μ⋅a ； λ ⋅ ( a → + b → ) = λ ⋅ a → + λ ⋅ b → ； \lambda·(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda·\overrightarrow{a}+\lambda·\overrightarrow{b}； λ⋅(a +b )=λ⋅a +λ⋅b ； 6、向量的投影和数量积： （1）两个向量的数量积： 已知两个非零的向量 a → \overrightarrow{a} a 和向量 b → \overrightarrow{b} b ，它们的夹角为 θ \theta θ ，则 a → ∗ b → = ∣ a → ∣ ∗ ∣ b → ∣ cos θ \overrightarrow{a}*\overrightarrow{b}=\lvert\overrightarrow{a}\rvert*\lvert\overrightarrow{b}\rvert\cos\theta a ∗b =∣a ∣∗∣b ∣cosθ 叫做 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b 的数量积（或内积）,规定 0 → ∗ a → = 0 \overrightarrow{0}*\overrightarrow{a}=0 0 ∗a =0。 （2）向量的投影： ∣ b → ∣ cos θ = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ∈ R \rvert\overrightarrow{b}\rvert\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\lvert\overrightarrow{a}\rvert}\in R ∣b ∣cosθ=∣a ∣a ⋅b ∈R，称为向量 b → \overrightarrow{b} b 在 a → \overrightarrow{a} a 方向上的投影。 投影的绝对值称之为射影。 （3）数量积的几何意义： a → ⋅ b → \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b} a ⋅b 等于 a → \overrightarrow{a} a 的长度与 b → \overrightarrow{b} b 在 a → \overrightarrow{a} a 方向上的投影的乘积。 （4）向量的模与平方的关系： a → ⋅ a → = a → 2 = ∣ a → ∣ 2 \overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}^2=\lvert\overrightarrow{a}\rvert^2 a ⋅a =a 2=∣a ∣2。 （5）乘法公式成立： ( a → + b → ) ⋅ ( a → − b → ) = a → 2 − b → 2 = ∣ a → ∣ 2 − ∣ b → ∣ 2 ; (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})·(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2=\lvert\overrightarrow{a}\rvert^2-\lvert\overrightarrow{b}\rvert^2; (a +b )⋅(a −b )=a 2−b 2=∣a ∣2−∣b ∣2; ( a → ± b → ) 2 = a → 2 ± 2 a → ⋅ b → + b → 2 = ∣ a → ∣ 2 ± 2 b → ⋅ b → + ∣ b → ∣ 2 ; (\overrightarrow{a}\plusmn\overrightarrow{b})^2=\overrightarrow{a}^2\plusmn2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2=\lvert\overrightarrow{a}\rvert^2\plusmn2\overrightarrow{b}·\overrightarrow{b}+\lvert\overrightarrow{b}\rvert^2; (a ±b )2=a 2±2a ⋅b +b 2=∣a ∣2±2b ⋅b +∣b ∣2; （6）平面向量数量积的运算律： ① 交换律成立： a → ⋅ b → = b → ⋅ a → \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a} a ⋅b =b ⋅a ； ② 对实数的结合律成立： ( λ a → ) ⋅ b → = λ ( a → ⋅ b → ) = a → ⋅ ( λ b → ) ( λ ∈ R ) (\lambda\overrightarrow{a})·\overrightarrow{b}=\lambda(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}·(\lambda\overrightarrow{b})(\lambda\in R) (λa )⋅b =λ(a ⋅b )=a ⋅(λb )(λ∈R); ③ 分配律成立： ( a → ± b → ) ⋅ c → = a → ⋅ c → ± b → ⋅ c → = c → ⋅ ( a → ± b → ) (\overrightarrow{a}\plusmn\overrightarrow{b})·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\plusmn\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}·(\overrightarrow{a}\plusmn\overrightarrow{b}) (a ±b )⋅c =a ⋅c ±b ⋅c =c ⋅(a ±b ); 特别注意： (1) 结合律不成立： a → ⋅ ( b → ⋅ c → ) ≠ ( a → ⋅ b → ) ⋅ c → \overrightarrow{a}·(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c})\ne (\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b})·\overrightarrow{c} a ⋅(b ⋅c )=(a ⋅b )⋅c ; (2) 消除率不成立 a → ⋅ b → = a → ⋅ c → \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c} a ⋅b =a ⋅c 不能得到 b → = c → \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} b =c ; (3) a → ⋅ b → = 0 \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0 a ⋅b =0 不能等到 a → = 0 → \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} a =0 或 b → = 0 → \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0} b =0 ； 7、向量的坐标运算： （1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标： 已知 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1,y_1) A(x1,y1)和 B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2) B(x2,y2)，则 A B ‾ = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) \overline{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1) AB=(x2−x1,y2−y1) 。即 终 点 坐 标 减 去 起 点 坐 标 . ‾ \underline{终点坐标减去起点坐标.} 终点坐标减去起点坐标. （2）已知向量坐标，求向量模： 已知 a → = ( x , y ) \overrightarrow{a}=(x,y) a =(x,y)，则 ∣ a → ∣ = x 2 + y 2 \lvert\overrightarrow{a}\rvert =\sqrt{x^2+y^2} ∣a ∣=x2+y2 ； 已知 A ( x 1 , y 1 ) A(x_1,y_1) A(x1,y1) 和 B ( x 2 , y 2 ) B(x_2,y_2) B(x2,y2) , 则 A B → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ) ， 此 时 ， ∣ A B → ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 \overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)，此时，\lvert\overrightarrow{AB}\rvert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} AB =(x2−x1,y2−y1)，此时，∣AB ∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2 ， 本公式等价于“两点间距离公式：已知 A ( x 1 , y 1 ) 和 B ( x 2 , y 2 ) A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2) A(x1,y1)和B(x2,y2)则 ∣ A B ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 = △ x 2 + △ y 2 \lvert AB \rvert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{\triangle x^2+\triangle y^2} ∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2 =△x2+△y2 ”。 （3）已经两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积 ① 加减：已知 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 ) , \overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2) , a =(x1,y1),b =(x2,y2),则 a → ± b → = ( x 1 ± x 2 , y 1 ± y 2 ) \overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(x_1\pm x_2,y_1 \pm y_2) a ±b =(x1±x2,y1±y2)，即对应纵横坐标相加减。 ② 数乘：已知 a → = ( x , y ) \overrightarrow{a}=(x,y) a =(x,y)，则 λ a → = λ ( x , y ) = ( λ x , λ y ) \lambda\overrightarrow{a}=\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y) λa =λ(x,y)=(λx,λy)，即倍数对坐标分配。 ③ 数量积：已知 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 ) \overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2) a =(x1,y1),b =(x2,y2)，则 a → ⋅ b → = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2 a ⋅b =x1⋅x2+y1⋅y2。即对应坐标之积再相加。 （4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或者夹角余弦值： 已知 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 ) \overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2) a =(x1,y1),b =(x2,y2)，则： cos ⟨ a → , b → ⟩ = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 x 1 + x 2 ∗ y 1 + y 2 。 \cos\lang\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\rang=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\lvert\overrightarrow{a}\rvert\cdot\lvert\overrightarrow{b}\rvert}=\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{x_1+x_2}*\sqrt{y_1+y_2}}。 cos⟨a ,b ⟩=∣a ∣⋅∣b ∣a ⋅b =x1+x2 ∗y1+y2 x1⋅x2+y1⋅y2。 8、向量的夹角 已知两个非零的向量 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b ,作 O A → = a → , O B → = b → \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b} OA =a ,OB =b ,则 ∠ A O B = θ ( 0 ° ≤ θ ≤ 180 ° ) \angle AOB=\theta(0°\leq\theta\leq180°) ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b 的夹角，记为 < a → , b → > <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}> ,b >。 注意：① 研究向量夹角的时候，必须将两个向量的起点移动到同一个点上； ② 当且仅当两个非零向量 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b 同方向是， < a → , b → > = 0 <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=0 ,b >=0 ③当且仅当 a → \overrightarrow{a} a 与 b → \overrightarrow{b} b 方向相反时 < a → , b → > = π <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\pi ,b >=π ④ 0 → 与 其 它 任 何 非 零 的 向 量 之 间 不 谈 夹 角 这 一 问 题 \overrightarrow{0}与其它任何非零的向量之间不谈夹角这一问题 0 与其它任何非零的向量之间不谈夹角这一问题 ⑤ cos θ = cos < a → , b → > = a → ∙ b → ∣ a → ∣ ∙ ∣ b → ∣ = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 1 2 + y 1 2 ⋅ x 2 2 + y 2 2 。 \cos\theta=\cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}}{\lvert\overrightarrow{a}\rvert\bullet\lvert\overrightarrow{b}\rvert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}}。 cosθ=cos ,b >=∣a ∣∙∣b ∣a ∙b =x12+y12 ⋅x22+y22 x1x2+y1y2。 ⑥ 向量夹角与数量积的关系： 当 θ \theta θ 为锐角时， a → ∙ b → > 0 \overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}>0 a ∙b >0(反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能平行且同向)；当 θ \theta θ 为钝角的时， a → ∙ b → < 0 。 \overrightarrow{a}\bullet\overrightarrow{b}<0。 a ∙b <0。(反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且相反) 9、平面向量的基本定理 如果 e 1 → , e 2 → \overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2} e1 ,e2 是一个平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任何一向量 a → \overrightarrow{a} a ，有且只有一对 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2 使： a → = λ 1 e 1 → + λ 2 e 2 → \overrightarrow{a}= \lambda_1\overrightarrow{e_1}+\lambda_2\overrightarrow{e_2} a =λ1e1 +λ2e2 ，其中不共线的向量 e 1 → , e 2 → \overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2} e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。 10、向量垂直（共线）的基本定理 （1）共线： a → / / b → ⇔ a → = λ b → , ( b → ≠ 0 → ) \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Harr\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b},(\overrightarrow{b}\not=\overrightarrow{0}) a //b ⇔a =λb ,(b =0 )，此为向量平行的符号表达。 若 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → ( x 2 , y 2 ) \overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}(x_2,y_2) a =(x1,y1),b (x2,y2),则 a → / / b → ⇔ x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0 \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Harr x_1y_2-x_2y_1=0 a //b ⇔x1y2−x2y1=0 或 { x 1 = λ x 2 y 1 = λ y 2 \begin{cases}x_1=\lambda x_2 \\ y_1=\lambda y_2 \end{cases} {x1=λx2y1=λy2 ，此为向量平行的坐标表达。 注意：对于“ a → / / b → ⇔ a → = λ b → , ( b → ≠ 0 → ) \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Harr\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b},(\overrightarrow{b} \not = \overrightarrow{0}) a //b ⇔a =λb ,(b =0 ) ”，当 a → = 0 → \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} a =0 时，可以看成是非零向量 b → \overrightarrow{b} b 的0倍即 ( λ = 0 ) (\lambda=0) (λ=0)，所以规定“零向量 0 → \overrightarrow{0} 0 与任何非零向量 b → \overrightarrow{b} b 平行”。 （2）垂直： 非零向量 a → \overrightarrow{a} a 和 b → \overrightarrow{b} b 满足： a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → = 0 \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Harr\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0 a ⊥b ⇔a ⋅b =0，此为向量平行符号的表达式。 若 a → = ( x 1 , y 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 ) \overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2) a =(x1,y1),b =(x2,y2)，则 a → ⊥ b → ⇔ x 1 ⋅ x 2 + y 1 ⋅ y 2 = 0 \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Harr x_1·x_2+y_1·y_2=0 a ⊥b ⇔x1⋅x2+y1⋅y2=0，此为向量平行坐标表达式。 即：两个非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。 若 a → \overrightarrow{a} a 和 b → \overrightarrow{b} b 中有一个向量为零向量，则数量积一定为0，此时无需讨论 a → \overrightarrow{a} a 和 b → \overrightarrow{b} b 是否垂直。所有规定“零向量与任何非零的向量平行”，但是规定“零向量与任何非零的向量垂直”。 11、有向线段的定比分点 （1）定义： 设点 P P P是直线 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2上异于 P 1 、 P 2 P_1、P_2 P1、P2 的任意一点，若存在一个事数 λ \lambda λ ，使 P 1 P → = λ P P 2 → \overrightarrow{P_1P}=\lambda\overrightarrow{PP_2} P1P =λPP2 ，则 λ \lambda λ 叫做点P分有向线段 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 所成的比， P P P点叫做有向线段 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 的以定为 λ \lambda λ 的定比分点。（简称：点 P P P为定比分点） （2） λ \lambda λ 的符号与分点 P P P 的位置之间的关系： 当 P P P点在线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2 上时 ⇔ λ > 0 \Harr \lambda>0 ⇔λ>0; 当 P P P点在线段 P 2 P 1 P_2P_1 P2P1 的延长线上时 ⇔ − 1 < λ < 0 \Harr-1<\lambda<0 ⇔−1<λ<0 ; 当 P P P 点在线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2 的延长线上时 ⇔ λ < − 1 \Harr\lambda<-1 ⇔λ<−1; 若点 P P P 分别有线段 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 所成的比为 λ \lambda λ ，则点 P P P 分有向线段 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 所成的比为 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1。 （3）线段的定比分点公式： 设 P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 ( x , y ) , P ( x , y ) P_1(x_1,y_1)、P_2(x,y),P(x,y) P1(x1,y1)、P2(x,y),P(x,y)分别有向线段 P 1 P 2 → \overrightarrow{P_1P_2} P1P2 所成的比为 λ \lambda λ ，则分点 P P P 的坐标为 { x = x 1 + λ x 2 1 + λ y = y 1 + λ y 2 1 + λ \begin{cases}x=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda} \\ y=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda} \end{cases} {x=1+λx1+λx2y=1+λy1+λy2即 P ( x 1 + λ x 2 1 + λ , y 1 + λ y 2 1 + λ ) P \Bigg(\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\Bigg) P(1+λx1+λx2,1+λy1+λy2)，特别地，当 λ = 1 \lambda=1 λ=1 时，就得到线段 P 1 P 2 P_1P_2 P1P2 的中点公式 { x = x 1 + x 2 2 y = y 1 + y 2 2 \begin{cases}x=\frac{x_1+x_2}{2} \\ y=\frac{y_1+y_2}{2} \end{cases} {x=2x1+x2y=2y1+y2。