积分的含义要从积分符号说起，积分号有加号的意思，∫abf(x)dx\int ^b_af(x)dx∫abf(x)dx可以理解为：区间[a,b]无限细分为无穷多个Δx\Delta xΔx,无穷多个f(x)值乘以无穷多个Δx\Delta xΔx的累积和。
根据上面的描述，面积可以理解为：∫ab∣f(x)∣dx,dx>0即a 接下来考虑一个问题：“积分值等于被积函数和积分元素x(or y)之间的面积”，这句话到底对不对呢？不全对。当被积函数的值在积分区间同号时，这句话是对的；当被积函数的值在积分区间不同号时，是错的。这是因为，积分表达式f(x)dx有符号！ 积分的对称性。假设 f(x) 是偶函数，根据定义则：f(-x) = f(x), dx大于0，则∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx=2∫−a0f(x)dx\int ^{a}_{-a} f(x) dx = 2\int ^{a}_{0} f(x) dx =\\2 \int ^{0}_{-a} f(x) dx∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx=2∫−a0f(x)dx；若f(x)是奇函数，根据奇函数的定义：f(-x) = - f(x)，则∫0af(x)dx=−∫0af(−x)dx=∫0−af(t)dt(将−x带换为t)=−∫−a0f(t)dt\int ^{a}_{0} f(x) dx =-\int ^{a}_{0} f(-x) dx = \int ^{-a}_{0} f(t) dt \color{red}(将-x带换为t)\color{black}= -\int ^{0}_{-a} f(t) dt∫0af(x)dx=−∫0af(−x)dx=∫0−af(t)dt(将−x带换为t)=−∫−a0f(t)dt，即可得到结论∫−aaf(x)dx=0\int ^{a}_{-a} f(x) dx = 0∫−aaf(x)dx=0 参照下图帮助理解： 明白了这几者的关系，在碰到积分与面积、对称性有关的问题时，就不会犯迷糊了。 罗翔曾经说过：“学习过于深入细节，这样的人，往往会失败，连通过考试都困难”。我觉得有一定的道理，学习没必要花费太多精力，牺牲自己绝大多数的精力和资源。创新讲究的是发散思维，学霸是能集中注意力、用最少的时间获得最大收益的人。读书或者做事情过于苛刻会导致思想僵化、性格古板、钻牛角尖，这样的人往往只会死读书，读死书。